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Voici le README mis à jour avec l'inclusion du package AlgLin et de la classe Helder dans la structure du projet :
Ce projet implémente l'approximation polynomiale par la méthode des moindres carrés. Contrairement à l'interpolation qui force la courbe à passer par tous les points, cette méthode cherche à minimiser la somme des carrés des écarts entre les points et la courbe.
- **Hamadou BA**
- Dépôt GitLab : [https://www-apps.univ-lehavre.fr/forge/bh243413/tp6-ps-methode-des-moindres-carrees.git](https://www-apps.univ-lehavre.fr/forge/bh243413/tp6-ps-methode-des-moindres-carrees.git)
tp6-moindres-carres/
│
├── pom.xml # Configuration Maven
├── src/
│ ├── main/
│ │ ├── java/
│ │ │ ├── AlgLin/ # Package de résolution de systèmes linéaires
│ │ │ │ ├── Helder.java # Résolution par factorisation LDR
│ │ │ │ ├── IrregularSysLinException.java
│ │ │ │ ├── Matrice.java
│ │ │ │ ├── SysLin.java
│ │ │ │ ├── SysDiagonal.java
│ │ │ │ ├── SysTriangInfUnite.java
│ │ │ │ ├── SysTriangSup.java
│ │ │ │ ├── SysTriangSupUnite.java
│ │ │ │ ├── SystTriangInf.java
│ │ │ │ └── Vecteur.java
│ │ │ │
│ │ │ └── tp6/
│ │ │ └── ps/
│ │ │ ├── ModPoly.java # Modèle polynomial
│ │ │ ├── ChartVisualizer.java # Visualisation graphique
│ │ │ ├── DataLoader.java # Chargement des données
│ │ │ └── Main.java # Classe principale
│ │ │
│ │ └── resources/ # Ressources de l'application
│ │ ├── quadratic.txt # Données quadratiques
│ │ ├── linear.txt # Données linéaires
│ │ ├── cubic.txt # Données cubiques
│ │ └── sinusoidal.txt # Données sinusoïdales
├── imgReadme/ # Images pour le README
│ ├── quadratic_deg1.png # Approximation degré 1
│ ├── quadratic_deg2.png # Approximation degré 2
│ ├── quadratic_deg3.png # Approximation degré 3
│ └── quadratic_deg5.png # Approximation degré 5
└── README.md # Ce fichier
- Approximation polynomiale par moindres carrés
- Choix du degré du polynôme
- Visualisation graphique des points de support et de la courbe d'approximation
- Sauvegarde des graphiques au format PNG
- Package AlgLin (bibliothèque de résolution de systèmes linéaires)
1. Clonez le dépôt :
```bash
git clone https://www-apps.univ-lehavre.fr/forge/bh243413/tp6-ps-methode-des-moindres-carrees.git
cd tp6-ps-methode-des-moindres-carrees
```
3. Exécutez l'application :
```bash
mvn exec:java -Dexec.mainClass="tp6.ps.Main"
```
4. À l'exécution, l'application vous demandera :
- Le nom d'un fichier de données (ex: quadratic.txt)
- Le degré du polynôme d'approximation
L'approximation linéaire (degré 1) est inadaptée pour des données quadratiques. La droite ne peut pas capturer la courbure parabolique des points.
### Approximation avec un polynôme de degré 2
L'approximation quadratique (degré 2) est parfaitement adaptée à ces données. La parabole suit idéalement la tendance des points.
### Approximation avec un polynôme de degré 3
L'approximation de degré 3 reste très bonne. Le coefficient du terme en x³ est très proche de zéro, ce qui indique que ce terme contribue peu.
Avec un degré 5, on commence à observer de légères oscillations, signe d'un début de surapprentissage. Le modèle s'adapte au bruit plutôt qu'à la tendance générale.
L'approximation par moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts :
## Méthode de résolution
Pour résoudre le système d'équations linéaires issu de la méthode des moindres carrés, nous utilisons la méthode de factorisation LDR implémentée dans la classe **Helder** du package AlgLin, au lieu de la méthode d'élimination de Gauss.
La factorisation LDR décompose la matrice du système A en trois matrices :
- L : matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale
- D : matrice diagonale
- R : matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale
telles que A = LDR.
La résolution du système s'effectue ensuite en trois étapes :
1. Résoudre Ly = b pour y
2. Résoudre Dz = y pour z
3. Résoudre Rx = z pour obtenir les coefficients x
Cette approche s'avère numériquement stable pour les systèmes issus de l'approximation par moindres carrés, même pour des degrés de polynôme relativement élevés.