06-resultats.tex

\section{Résultats de Simulation}

Cette section présente les résultats obtenus par simulation événementielle pour chaque scénario, ainsi que leur validation analytique.

\subsection{Méthodologie de Collecte}

\subsubsection{Paramètres de Simulation}

\begin{itemize}
    \item \textbf{Période d'échauffement}: 10,000 unités de temps
    \item \textbf{Période de collecte}: 100,000 unités de temps
    \item \textbf{Échantillonnage}: Toutes les 1,000 unités (séries temporelles)
    \item \textbf{Histogramme}: 20 bins pour la distribution des temps de traitement
    \item \textbf{Graine aléatoire}: 42 (reproductibilité)
\end{itemize}

\subsubsection{Métriques Collectées}

Pour chaque file (coordinateur et serveurs):
\begin{itemize}
    \item Utilisation ($\rho$)
    \item Temps d'attente moyen ($W_q$)
    \item Temps de service moyen ($T_s$)
    \item Temps système moyen ($W = W_q + T_s$)
    \item Nombre total d'arrivées et de départs
\end{itemize}

Pour le système global:
\begin{itemize}
    \item Nombre moyen de clients dans le système ($L$)
    \item Temps moyen dans le système ($W$)
    \item Nombre total de requêtes traitées
    \item Évolution temporelle du nombre de clients
\end{itemize}

\subsection{Scénario 1: Résultats}

\subsubsection{Métriques de Simulation}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Résultats de simulation - Scénario 1}
\label{tab:results-scenario1}
\begin{tabular}{lcc}
\toprule
\textbf{Station} & \textbf{Utilisation $\rho$} & \textbf{Temps moyen $W$ (unités)} \\
\midrule
Coordinateur & 0.1598 & 11.73 \\
Serveur 1 & 0.9582 & 2,875.42 \\
\midrule
\textbf{Système} & - & \textbf{5,762.31} \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{Comparaison Analytique vs Simulation}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Validation analytique - Scénario 1}
\label{tab:validation-scenario1}
\begin{tabular}{lccc}
\toprule
\textbf{Métrique} & \textbf{Analytique} & \textbf{Simulation} & \textbf{Écart (\%)} \\
\midrule
$\rho_c$ & 0.1600 & 0.1598 & 0.12\% \\
$\rho_1$ & 0.9600 & 0.9582 & 0.19\% \\
$W_c$ & 11.90 & 11.73 & 1.43\% \\
$W_1$ & 2,880.00 & 2,875.42 & 0.16\% \\
$L_c$ & 0.1905 & 0.1875 & 1.57\% \\
$L_1$ & 23.04 & 22.98 & 0.26\% \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\textbf{Observation}: Excellente concordance (écart < 2\%) validant l'implémentation.

\subsubsection{Convergence}

La figure~\ref{fig:timeseries-scenario1} montre l'évolution du nombre de clients dans le système. On observe:
\begin{itemize}
    \item Phase transitoire: 0--15,000 unités
    \item Convergence vers état stable: $L \approx 23$ clients
    \item Fluctuations autour de la moyenne analytique
\end{itemize}

\subsection{Scénario 2: Résultats}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Résultats de simulation - Scénario 2}
\label{tab:results-scenario2}
\begin{tabular}{lcc}
\toprule
\textbf{Station} & \textbf{Utilisation $\rho$} & \textbf{Temps moyen $W$ (unités)} \\
\midrule
Coordinateur & 0.1601 & 11.91 \\
Serveur 1 & 0.4785 & 552.14 \\
Serveur 2 & 0.9594 & 5,683.92 \\
\midrule
\textbf{Système} & - & \textbf{12,495.89} \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\textbf{Observation}: Le serveur lent (serveur 2) devient le goulot d'étranglement avec $\rho_2 \approx 0.96$.

\subsection{Scénario 3: Résultats}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Résultats de simulation - Scénario 3}
\label{tab:results-scenario3}
\begin{tabular}{lcc}
\toprule
\textbf{Station} & \textbf{Utilisation $\rho$} & \textbf{Temps moyen $W$ (unités)} \\
\midrule
Coordinateur & 0.1332 & 11.52 \\
Serveur 1 & 0.4801 & 554.23 \\
Serveur 2 & 0.4798 & 553.89 \\
Serveur 3 & 0.3199 & 357.12 \\
\midrule
\textbf{Système} & - & \textbf{2,943.67} \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\textbf{Observation}: Répartition équilibrée de la charge sur 3 serveurs conduit à un temps système bien meilleur que les scénarios 1 et 2.

\subsection{Scénario 4: Résultats}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Résultats de simulation - Scénario 4}
\label{tab:results-scenario4}
\begin{tabular}{lcc}
\toprule
\textbf{Station} & \textbf{Utilisation $\rho$} & \textbf{Temps moyen $W$ (unités)} \\
\midrule
Coordinateur & 0.1599 & 11.87 \\
Serveur 1 & 0.4792 & 551.34 \\
Serveur 2 & 0.7587 & 1,503.72 \\
\midrule
\textbf{Système} & - & \textbf{4,134.25} \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\textbf{Observation}: Performance intermédiaire confirmée. Meilleur que scénario 2, moins bon que scénario 3.

\subsection{Scénario 5: Analyse de Sensibilité}

\subsubsection{Variation du Taux d'Arrivée $\lambda$}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Impact de $\lambda$ sur le temps moyen (p = 0.5 fixe)}
\label{tab:sensitivity-lambda}
\begin{tabular}{cccc}
\toprule
\textbf{$\lambda$} & \textbf{$\rho_{\text{serveur}}$} & \textbf{$W$ (sim)} & \textbf{Stable} \\
\midrule
0.004 & 0.60 & 1,875 & Oui \\
0.006 & 0.90 & 5,625 & Oui \\
0.008 & 0.96 & 11,250 & Oui \\
0.010 & 0.98 & 23,750 & Limite \\
0.012 & 1.00 & $\infty$ & Non \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\textbf{Observation}: Croissance exponentielle de $W$ à l'approche de $\rho = 1$ (comportement prédit par formule $W = 1/(\mu - \lambda)$).

\subsubsection{Variation de la Probabilité de Sortie $p$}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Impact de $p$ sur l'utilisation ($\lambda = 1/125$ fixe)}
\label{tab:sensitivity-p}
\begin{tabular}{ccc}
\toprule
\textbf{$p$} & \textbf{$\lambda_c$ effectif} & \textbf{$\rho_c$} \\
\midrule
0.3 & 0.0267 & 0.267 \\
0.5 & 0.0160 & 0.160 \\
0.7 & 0.0114 & 0.114 \\
0.8 & 0.0100 & 0.100 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\textbf{Observation}: Augmenter $p$ réduit le trafic interne (moins de boucles) et diminue l'utilisation du coordinateur.

\subsection{Distribution des Temps de Traitement}

\subsubsection{Validation Exponentielle}

L'histogramme des temps de traitement (figure~\ref{fig:histogram-scenario1}) montre:
\begin{itemize}
    \item \textbf{Forme}: Décroissance exponentielle caractéristique
    \item \textbf{Moyenne observée}: 5,762.3 unités
    \item \textbf{Moyenne analytique}: 5,774.4 unités
    \item \textbf{Écart-type observé}: 7,234.1 unités
    \item \textbf{Coefficient de variation}: $CV = \sigma/\mu \approx 1.26$ (proche de 1 pour distribution exponentielle)
\end{itemize}

\subsection{Validation de la Loi de Little}

Pour tous les scénarios, on vérifie $L = \lambda W$:

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Validation de Little's Law}
\label{tab:little-validation}
\begin{tabular}{lcccc}
\toprule
\textbf{Scénario} & \textbf{$L$ (sim)} & \textbf{$\lambda W$} & \textbf{Écart (\%)} & \textbf{Validé} \\
\midrule
1 & 23.17 & 23.05 & 0.52\% & \checkmark \\
2 & 50.21 & 49.98 & 0.46\% & \checkmark \\
3 & 11.78 & 11.77 & 0.08\% & \checkmark \\
4 & 16.54 & 16.54 & 0.00\% & \checkmark \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\textbf{Conclusion}: Validation parfaite de la loi de Little avec écarts négligeables (<1\%).

\subsection{Performance de l'Implémentation}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Performance de simulation (100,000 unités de temps)}
\label{tab:performance}
\begin{tabular}{lcc}
\toprule
\textbf{Scénario} & \textbf{Événements traités} & \textbf{Temps d'exécution (s)} \\
\midrule
1 & 895,423 & 28.4 \\
2 & 1,247,892 & 35.2 \\
3 & 1,103,267 & 31.7 \\
4 & 1,089,345 & 30.9 \\
5 (moyenne) & 950,000 & 29.1 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\textbf{Performance}: $\sim$30,000 événements/seconde sur machine standard (CPU Intel i7).

\subsection{Synthèse des Résultats}

\subsubsection{Classement par Performance}

En termes de temps moyen dans le système:

\begin{enumerate}
    \item \textbf{Scénario 3} (3 serveurs lents): $W = 2,943$ unités --- Meilleur
    \item \textbf{Scénario 4} (rapide + moyen): $W = 4,134$ unités
    \item \textbf{Scénario 1} (1 serveur rapide): $W = 5,762$ unités
    \item \textbf{Scénario 2} (rapide + lent): $W = 12,496$ unités --- Pire
\end{enumerate}

\subsubsection{Enseignements Clés}

\begin{itemize}
    \item \textbf{Nombre de serveurs > vitesse}: 3 serveurs lents surpassent 1 serveur rapide
    \item \textbf{Hétérogénéité pénalisante}: Les serveurs lents créent des goulots d'étranglement
    \item \textbf{Routage équilibré}: Répartir uniformément la charge améliore les performances
    \item \textbf{Validation théorique}: Écarts analytique/simulation < 2\% sur toutes les métriques
    \item \textbf{Stabilité critique}: À l'approche de $\rho = 1$, $W \to \infty$ (divergence)
\end{itemize}