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## Travaux d'analyse sur un cas de réseau d'intéraction
### Réseau de collaboration scientifique
Nous avons effectué ces mesures sur le réseau à analyser :
```
Le coefficient moyen de clustering d'un réseau aléatoire de même taille et de même degré moyen est :
$`Ci = p = \langle k \rangle \div N = 6,622 \div 137080 \ = 0,000048308`$
Le réseau scientifique est bel et bien connexe. Puisque son degré moyen
est de 6,622, et qu'un réseau aléatoire atteint un régime pleinement
connecté à partir d'un degré moyen d'environ 4,5, alors on peut dire qu'un
réseau aléatoire avec ces mêmes caractéristiques serait connexe.
*Distribution des degrés dans le réseau de terrain*
Coéfficients trouvés pour la loi de puissance : c -> 10.806, gamma -> 2.717
La distance moyenne calculée sur un échantillon de 1000
noeuds est de 6.81. Pour savoir si ce réseau est un
réseau petit monde, il faut vérifier que sa distance moyenne
soit d'environ $`\ln N \div \ln \langle k \rangle`$.
La distance moyenne dans un réseau aléatoire
aux mêmes caractéristiques de taille et de degré moyen est d'environ :
$`\langle d \rangle = \ln N / \ln \langle k \rangle = \ln 317080 / \ln 6.622 \approx 6.701`$
$`\ln N / \ln \langle k \rangle \approxeq \langle d \rangle`$ ce réseau est
donc un réseau petit monde.
Après traçage de la distribution, je conjecture que la loi de cette distribution
est une loi normale centrée autour de la moyenne $`\approx 6.7`$.
| *Mesure* | Terrain | Aléatoire | Préférentiel
|-------------------------|-------------|-----------|-------------
| $`\|N\|`$ | 317 082 | 317 082 | 317 082
| $`\|L\|`$ | 1 049 866 | 1 050 904 | 1 268 401
| $`\langle k \rangle`$ | 6.622 | 6.628 | 8.000
| $`\langle C \rangle`$ | 0.632 | 0.000 | 0.000
| $`\langle d \rangle`$ | 6.849 | 6.919 | 4.859
| Connexe | ✓ | ❌ | ✓
Les mesures de clustering et de la distance moyenne
prédits sont cohérents avec ceux observés pour le réseau
aléatoire.
### Comparaison des distributions
*Comparaison des distributions de degrés entre les trois graphes*
On peut voir que la distribution des degrés sur le
graphe préférentiiel se rapproche beaucoup de celle
du graphe de terrain. En revanche la distribution
dans un réseau aléatoire est bien différente.
*Comparaison des distributions de distances entre les trois graphes*
Au final, on peut dire qu'un graphe à attachement préférentiel
est ce qui se rapproche le plus d'un graphe de terrain en termes
de distribution de degrés, même s'il n'est pas ressemblant sur
d'autres points comme les distances ou le coefficient de clustering.
Le réseau aléatoire n'est quant à lui pas une bonne stratégie de
génération pour obtenir un réseau proche d'un réseau
de terrain.
# Travaux d'analyse et de simulation d'une propagation dans
le réseau de collaboration
## Question 1
On a $`\beta = \frac{1}{7}`$ et $`\mu = \frac{1}{14}`$, on a donc
$`\lambda = \frac{\beta}{\mu} = 2`$ comme taux de propagation.
On a également le seuil épidémique
$`\lambda c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle}`$
avec $`\langle k \rangle = 6.622`$ et $`\langle k^2 \rangle = 143,631`$
qui vaut $`\lambda c \approx 0.046`$.
Le seuil épidémique d'un réseau aléatoire au même degré moyen
serait $`\lambda c = \frac{1}{\langle k \rangle + 1} \approx 0.131`$.
On peut lier cette différence aux divergences en termes de clustering
entre les deux graphes.