\section{Scénarios d'Étude}

Cette section présente les cinq scénarios prédéfinis testés pour valider l'implémentation et explorer différentes configurations du système.

\subsection{Scénario 1: Serveur Unique Rapide (Instabilité)}

\subsubsection{Configuration}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Paramètres du scénario 1}
\label{tab:scenario1}
\begin{tabular}{ll}
\toprule
\textbf{Paramètre} & \textbf{Valeur} \\
\midrule
Taux d'arrivée externe ($\lambda$) & $1/125$ (8 req/s) \\
Taux de service coordinateur ($\mu_c$) & $1/10$ (10 ms moyen) \\
Probabilité de sortie ($p$) & $0.5$ \\
Nombre de serveurs & 1 \\
Serveur 1: $\mu_1$ & $1/120$ (120 ms moyen) \\
Serveur 1: $q_1$ & $0.5$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{Objectif}

Démontrer l'instabilité d'un système où le serveur ne peut traiter les requêtes assez rapidement.

\subsubsection{Analyse de Stabilité}

Calculons les taux d'arrivée effectifs selon \eqref{eq:lambda-final}:

\begin{align*}
    \lambda_c &= \frac{\lambda}{p} = \frac{1/125}{0.5} = \frac{1}{62.5} = 0.016 \\
    \lambda_1 &= \frac{\lambda q_1}{p} = \frac{(1/125)(0.5)}{0.5} = \frac{1}{125} = 0.008
\end{align*}

Utilisation du coordinateur:
\begin{equation*}
    \rho_c = \frac{\lambda_c}{\mu_c} = \frac{0.016}{0.1} = 0.16 < 1 \quad \checkmark
\end{equation*}

Utilisation du serveur 1:
\begin{equation*}
    \rho_1 = \frac{\lambda_1}{\mu_1} = \frac{0.008}{1/120} = 0.96 < 1 \quad \checkmark
\end{equation*}

\textbf{Conclusion}: Le système est \textbf{stable} mais le serveur 1 est fortement utilisé ($\rho_1 = 96\%$).

\subsection{Scénario 2: Deux Serveurs (Rapide + Lent)}

\subsubsection{Configuration}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Paramètres du scénario 2}
\label{tab:scenario2}
\begin{tabular}{ll}
\toprule
\textbf{Paramètre} & \textbf{Valeur} \\
\midrule
$\lambda$ & $1/125$ \\
$\mu_c$ & $1/10$ \\
$p$ & $0.5$ \\
Serveur 1: $\mu_1$ & $1/120$ \\
Serveur 1: $q_1$ & $0.25$ \\
Serveur 2: $\mu_2$ & $1/240$ (serveur lent) \\
Serveur 2: $q_2$ & $0.25$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{Objectif}

Étudier l'impact de l'ajout d'un serveur lent pour partager la charge.

\subsubsection{Analyse}

Taux effectifs:
\begin{align*}
    \lambda_c &= 0.016 \\
    \lambda_1 &= \frac{(1/125)(0.25)}{0.5} = 0.004 \\
    \lambda_2 &= \frac{(1/125)(0.25)}{0.5} = 0.004
\end{align*}

Utilisations:
\begin{align*}
    \rho_c &= 0.16 \quad \checkmark \\
    \rho_1 &= 0.004 \times 120 = 0.48 \quad \checkmark \\
    \rho_2 &= 0.004 \times 240 = 0.96 \quad \checkmark
\end{align*}

\textbf{Conclusion}: Système stable. La charge est mieux répartie sur le serveur rapide, mais le serveur lent reste saturé.

\subsection{Scénario 3: Trois Serveurs Lents}

\subsubsection{Configuration}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Paramètres du scénario 3}
\label{tab:scenario3}
\begin{tabular}{ll}
\toprule
\textbf{Paramètre} & \textbf{Valeur} \\
\midrule
$\lambda$ & $1/125$ \\
$\mu_c$ & $1/10$ \\
$p$ & $0.6$ \\
Serveurs 1-3: $\mu_i$ & $1/240$ (tous lents) \\
Serveur 1: $q_1$ & $0.15$ \\
Serveur 2: $q_2$ & $0.15$ \\
Serveur 3: $q_3$ & $0.10$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{Objectif}

Analyser la performance avec plusieurs serveurs lents et routage non uniforme.

\subsubsection{Analyse}

Taux effectifs:
\begin{align*}
    \lambda_c &= \frac{1/125}{0.6} = 0.01333 \\
    \lambda_1 &= \frac{(1/125)(0.15)}{0.6} = 0.002 \\
    \lambda_2 &= 0.002 \\
    \lambda_3 &= \frac{(1/125)(0.10)}{0.6} = 0.00133
\end{align*}

Utilisations:
\begin{align*}
    \rho_c &= 0.1333 \quad \checkmark \\
    \rho_1 &= 0.002 \times 240 = 0.48 \quad \checkmark \\
    \rho_2 &= 0.48 \quad \checkmark \\
    \rho_3 &= 0.00133 \times 240 = 0.32 \quad \checkmark
\end{align*}

\textbf{Conclusion}: Système stable avec utilisation modérée de tous les serveurs.

\subsection{Scénario 4: Deux Serveurs (Rapide + Moyen)}

\subsubsection{Configuration}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Paramètres du scénario 4}
\label{tab:scenario4}
\begin{tabular}{ll}
\toprule
\textbf{Paramètre} & \textbf{Valeur} \\
\midrule
$\lambda$ & $1/125$ \\
$\mu_c$ & $1/10$ \\
$p$ & $0.5$ \\
Serveur 1: $\mu_1$ & $1/120$ (rapide) \\
Serveur 1: $q_1$ & $0.25$ \\
Serveur 2: $\mu_2$ & $1/190$ (moyen) \\
Serveur 2: $q_2$ & $0.25$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{Objectif}

Comparer avec le scénario 3 pour évaluer l'impact du nombre de serveurs vs vitesse.

\subsubsection{Analyse}

Utilisations:
\begin{align*}
    \rho_1 &= 0.48 \quad \checkmark \\
    \rho_2 &= 0.004 \times 190 = 0.76 \quad \checkmark
\end{align*}

\textbf{Conclusion}: Système stable. Performance intermédiaire entre scénarios 2 et 3.

\subsection{Scénario 5: Analyse de Sensibilité}

\subsubsection{Objectif}

Étudier l'impact de la variation des paramètres $\lambda$ et $p$ sur les performances.

\subsubsection{Variations Testées}

\begin{enumerate}
    \item \textbf{Variation de $\lambda$}: Maintenir $p = 0.5$, faire varier $\lambda \in [0.004, 0.012]$
    \item \textbf{Variation de $p$}: Maintenir $\lambda = 1/125$, faire varier $p \in [0.3, 0.8]$
\end{enumerate}

\subsubsection{Configuration de Base}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Configuration de base pour analyse de sensibilité}
\label{tab:scenario5}
\begin{tabular}{ll}
\toprule
\textbf{Paramètre} & \textbf{Valeur} \\
\midrule
$\lambda$ (variable) & $0.004$ à $0.012$ \\
$\mu_c$ & $1/10$ \\
$p$ (variable) & $0.3$ à $0.8$ \\
Serveur 1: $\mu_1$ & $1/150$ \\
Serveur 1: $q_1$ & Ajusté selon $p$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{Métriques Observées}

Pour chaque variation, on mesure:
\begin{itemize}
    \item Temps moyen dans le système ($W$)
    \item Nombre moyen de clients ($L$)
    \item Utilisations des serveurs ($\rho_i$)
    \item Convergence vers état stable
\end{itemize}

\subsection{Synthèse des Scénarios}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Comparaison des scénarios}
\label{tab:scenarios-synthese}
\begin{tabular}{lcccc}
\toprule
\textbf{Scénario} & \textbf{Serveurs} & \textbf{Stable} & \textbf{$\rho_{\max}$} & \textbf{Objectif} \\
\midrule
1 & 1 rapide & Oui & 0.96 & Haute charge \\
2 & 1 rapide + 1 lent & Oui & 0.96 & Hétérogène \\
3 & 3 lents & Oui & 0.48 & Multi-serveurs \\
4 & 1 rapide + 1 moyen & Oui & 0.76 & Comparaison \\
5 & Variable & Variable & Variable & Sensibilité \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}